공부 2. 포트폴리오에서 분산효과의 작동원리, 위험도 하락 원리

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[자산관리/투자 : 공부] - 공부1. 자산 포트폴리오 구성에 대하여, 분산효과 계산 방법

공부1. 자산 포트폴리오 구성에 대하여, 분산효과 계산 방법

 

기호 설명

$R$ : Return   = 수익

$E(R)$ : Expection(R)  = 예상수익률

$p$ : portfolio

 

두 자산을 담은 포트폴리오의 기대수익률, 위험률 계산 방법

 

A라는 자산과 B라는 자산을 비중 $w$ 만큼 담았을 때 수익률은

 

$R_p = w_A R_A + w_B R_B$                            = 포트폴리오의 수익

$E(R_p) = E(w_AR_A +w_B R_B) $          

              $= w_AE(R_A) + w_BE(R_B)$     = 포트폴리오의 예상수익률

 

두 자산의 비율과 예상 수익률로 쉽게 계산을 할 수 있다

선형성이 있기 때문이다.

 

그러나 risk 는 선형성이 존재하느냐?

 

$var(R_p) = var(w_AR_A + w_BR_B)$

                      $ = var(w_AR_A) + var(w_BR_B)$ $+cov(w_AR_A,w_BR_B)$

                                                                    $ \vdots $

                      $ = (w_A)^2(\sigma_A)^2 + (w_B)^2(\sigma_B)^2  + 2w_Aw_B\sigma_A\sigma_B$ $\rho$  $ \dots $ 식(1)

                               * 여기서 $\rho$ 상관계수를 기억하자! *

                               * $ -1 \leqq \rho \leqq 1$ *

 

$\sigma(R_P) = \sigma(w_AR_A + w_BR_B) $ $\neq$ $ w_A \sigma(R_A) + w_B \sigma(R_B) $    $ \dots $ 식(2)

$\sigma$ : 변동성 $\rightarrow$ 리스크

 

통계 계산방법에 따라 분산 두 개를 합치면 공분산이 나오게 되고 

식을 더 분해하면 상관계수가 나오게 된다

즉, 우리가 원하는 단순한 풀이가 아니며

두 자산의 리스크를 합쳤을 때 리스크는 선형성을 보이지 않는 것을 알 수 있다.

 

예시를 들어보자

• 두 개의 자산에 50% 씩 투자했을 때
  수익률 : $ E(R_p)$ = 0.5  * 10% + 0.5 * 15% =12.5%
  리스크 : $\sigma(R_p)$ ≠ 0.5  * 10% + 0.5 * 25% =20% 
  
  수익률은 12.5%가 맞다.
  그러나 리스크는 20%가 아니다! 

 

식 (1)을 보고있으면 우리가 중고등학교 때 배웠던 인수분해/ 전개 공식이 떠오르지 않는가?

적어도 이 글을 여기까지 읽고 있는 사람들은 아마도 기억이 날 것이라고 생각한다.

$$ (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $$

 

만약 식 (1)의 상관계수$\rho$가 1이라면 식(2)의 좌우 식은 = 이 된다

즉, 두 자산의 리스크는 두 자산의 리스크를 비중에 따라 더한 값이란 의미이다

 

하지만 현실에서 두 자산의 상관계수가 1인 자산은 없다.

그리고 우리는 두 자산을 합쳐 위험률은 더 낮추는 것이 목표이다.

위험률을 낮추기 위해 우리는 상관계수가 음수인 두 자산을 우리의 포트폴리오에 섞을 것이며

언제나 식 (2)의 좌변은 우변보다 값이 작게 나오게 된다

 

그 결과로 우리는 음의 상관관계가 있는 두 자산을 섞음으로써

포트폴리오의 위험률을 낮추는 분산 효과를 얻을 수 있다.

 

A, B 두 자산을 포함한 포트폴리오의 상관계수에 따른 위험률 그래프

 

포트폴리오에 자산 A를 100 담을 경우 기대수익률과 리스크는 A 지점에,

포트폴리오에 자산 B를 100 담을 경우 기대수익률과 리스크는 B 지점에 있다.

포트폴리오에 각각 A, B 자산을 일정 비율로 담을 경우 기대수익률,리스크는 상관계수에 따라 그려지는 곡선 위에서 움직이며

두 자산 각각 위험보다 더 낮은 위험률을 기대할 수 있다.

 

여러 개 자산을 담은 포트폴리오의 기대수익률, 위험률 그래프

여러개 자산을 담은 포트폴리오의 기대수익률, 위험률 그래프

 

두 개의 자산을 담았을 때 최적의 위험도/수익률 지점(P)을 찾고

그 지점과 다른 자산과의 관계를 또 찾고(P2)

포트폴리오 내의 모든 자산과의 관계를 찾아내면

전체 포트폴리오의 위험률/수익률 최적화 지점을 찾을 수 있다.

 

맺음말

이 글은 자산의 분산투자 효과를 수학적으로 설명하기 위해 작성하였다

하지만 현실에서 본인의 자산을 위처럼 계산하며 관리하는 개인 투자자가 얼마나 될까

자산을 분산투자해야 하는 사실은 굳이 수식을 이용해서 설명할 필요가 없을 만큼 대중적이며 논란의 여지가 없다

'계란을 한 바구니에 담지 말라' 라는 속담으로 우리는 실전 투자를 하기도 전에 선행학습이 되어있지 않는가.

 

다시 한 번 분산투자의 중요성을 느끼고자 하는 것이 1차적 목표였으며

나처럼 원리, 공식에 집착을 갖는 덕후의 기록 보관용으로

이 글을 작성하였다.