공돌

이전글에서 이어집니다.

[자산관리/투자 : 공부] - 공부1. 자산 포트폴리오 구성에 대하여, 분산효과 계산 방법

기호 설명

$R$ : Return   = 수익

$E(R)$ : Expection(R)  = 예상수익률

$p$ : portfolio

두 자산을 담은 포트폴리오의 기대수익률, 위험률 계산 방법

A라는 자산과 B라는 자산을 비중 $w$ 만큼 담았을 때 수익률은

$R_p = w_A R_A + w_B R_B$                            = 포트폴리오의 수익

$E(R_p) = E(w_AR_A +w_B R_B) $          

              $= w_AE(R_A) + w_BE(R_B)$     = 포트폴리오의 예상수익률

두 자산의 비율과 예상 수익률로 쉽게 계산을 할 수 있다

선형성이 있기 때문이다.

그러나 risk 는 선형성이 존재하느냐?

$var(R_p) = var(w_AR_A + w_BR_B)$

                      $ = var(w_AR_A) + var(w_BR_B)$ $+cov(w_AR_A,w_BR_B)$

                                                                    $ \vdots $

                      $ = (w_A)^2(\sigma_A)^2 + (w_B)^2(\sigma_B)^2  + 2w_Aw_B\sigma_A\sigma_B$ $\rho$  $ \dots $ 식(1)

                               * 여기서 $\rho$ 상관계수를 기억하자! *

                               * $ -1 \leqq \rho \leqq 1$ *

$\sigma(R_P) = \sigma(w_AR_A + w_BR_B) $ $\neq$ $ w_A \sigma(R_A) + w_B \sigma(R_B) $    $ \dots $ 식(2)

$\sigma$ : 변동성 $\rightarrow$ 리스크

통계 계산방법에 따라 분산 두 개를 합치면 공분산이 나오게 되고 

식을 더 분해하면 상관계수가 나오게 된다

즉, 우리가 원하는 단순한 풀이가 아니며

두 자산의 리스크를 합쳤을 때 리스크는 선형성을 보이지 않는 것을 알 수 있다.

예시를 들어보자

• 두 개의 자산에 50% 씩 투자했을 때
  수익률 : $ E(R_p)$ = 0.5  * 10% + 0.5 * 15% =12.5%
  리스크 : $\sigma(R_p)$ ≠ 0.5  * 10% + 0.5 * 25% =20% 
  
  수익률은 12.5%가 맞다.
  그러나 리스크는 20%가 아니다! 

식 (1)을 보고있으면 우리가 중고등학교 때 배웠던 인수분해/ 전개 공식이 떠오르지 않는가?

적어도 이 글을 여기까지 읽고 있는 사람들은 아마도 기억이 날 것이라고 생각한다.

$$ (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $$

만약 식 (1)의 상관계수$\rho$가 1이라면 식(2)의 좌우 식은 = 이 된다

즉, 두 자산의 리스크는 두 자산의 리스크를 비중에 따라 더한 값이란 의미이다

하지만 현실에서 두 자산의 상관계수가 1인 자산은 없다.

그리고 우리는 두 자산을 합쳐 위험률은 더 낮추는 것이 목표이다.

위험률을 낮추기 위해 우리는 상관계수가 음수인 두 자산을 우리의 포트폴리오에 섞을 것이며

언제나 식 (2)의 좌변은 우변보다 값이 작게 나오게 된다

그 결과로 우리는 음의 상관관계가 있는 두 자산을 섞음으로써

포트폴리오의 위험률을 낮추는 분산 효과를 얻을 수 있다.

포트폴리오에 자산 A를 100 담을 경우 기대수익률과 리스크는 A 지점에,

포트폴리오에 자산 B를 100 담을 경우 기대수익률과 리스크는 B 지점에 있다.

포트폴리오에 각각 A, B 자산을 일정 비율로 담을 경우 기대수익률,리스크는 상관계수에 따라 그려지는 곡선 위에서 움직이며

두 자산 각각 위험보다 더 낮은 위험률을 기대할 수 있다.

여러 개 자산을 담은 포트폴리오의 기대수익률, 위험률 그래프

두 개의 자산을 담았을 때 최적의 위험도/수익률 지점(P)을 찾고

그 지점과 다른 자산과의 관계를 또 찾고(P2)

포트폴리오 내의 모든 자산과의 관계를 찾아내면

전체 포트폴리오의 위험률/수익률 최적화 지점을 찾을 수 있다.

맺음말

이 글은 자산의 분산투자 효과를 수학적으로 설명하기 위해 작성하였다

하지만 현실에서 본인의 자산을 위처럼 계산하며 관리하는 개인 투자자가 얼마나 될까

자산을 분산투자해야 하는 사실은 굳이 수식을 이용해서 설명할 필요가 없을 만큼 대중적이며 논란의 여지가 없다

'계란을 한 바구니에 담지 말라' 라는 속담으로 우리는 실전 투자를 하기도 전에 선행학습이 되어있지 않는가.

다시 한 번 분산투자의 중요성을 느끼고자 하는 것이 1차적 목표였으며

나처럼 원리, 공식에 집착을 갖는 덕후의 기록 보관용으로

이 글을 작성하였다.

1월에 올해 투자할 ETF를 나름의 방법으로 추렸고
아래 그래프에 표시한 종목들에 투자 했었다
현재는 VOO 빼놓고 모두 익절한 상태이다.

7월 첫째 주인 지금
해당 종목들이 전반적으로 높은 가격을 유지 중이며 참고지표들도 투자 과열 분위기라는 것을 나타내고 있다.

•  VOO 제외 모두 정리한 이유
  - TIGER 미국필라델피아반도체나스닥(필반나)과 VOO만 미국 주식이고 나머진 국장이다
  - 국내주식들이 거품이 많이 껴있다고 생각한다.
  - 특히 KODEX 2차전지산업의 경우에 가격 뻥튀기가 미쳤던 에코프로비엠이 약 16%  포함되어 있고 
    그 외 국내 배터리 업체들의 PER도 너무 높다고 생각한다

KODEX 2차전지산업 상위 5개 종목 비중, PER

     - 필반나는 적당히 익절한 후 가격이 떨어지면 다시 들어가려고 했는데 엔비디아와 같은 종목의 급등으로 들어가지 못하고 있다

•  하반기 계획
  1. 2차전지, 신재생에너지는 계속 오를 것으로 생각한다
    - 이번 여름 전세계적인 기후변화의 심각성을 알리는 뉴스들이 쏟아진 후 미국, 유럽등의 정책들이 또다시 나오면서 올라갈 것
    - 대신 국내 ETF가 아닌 미국 ETF를 매수할 계획이다.
   2. 엔화 투자
  ​  - 엔화가 900원 저점을 찍었다.
    - 900원은 오래 머무를 수 없는 가격대라고 생각한다.  
    - 900원에 사서 950원까지 올라간다면 대략 5 % 수익률이므로 투자할 가치가 있다고 생각한다

   3. 반도체
     - 반도체도 중국과의 갈등이 결국엔 풀리면서 상승할 것으로 생각한다
     - 근데 언제 들어가느냐가 문제.. 
     - 반도체 시장 분위기를 대표했던 엔비디아

주가를 보면 나같은 쫄보는 못들어간다. .

  4. UAM
    - 내 전공분야이다.
    - Joby Aviation
    - Lilium Air Mobility 
    - 제2의 테슬라가 될 수 있을지 

1. 포트폴리오의 중요성, 통계

포트폴리오 구성의 목표는 분산효과 리스크는 낮추고 기대 수익률을 높이는 것

따라서 분산효과가 큰 자산들을 구성해서 담는 것이 중요하다

분산효과를 정량적으로 계산하기 위해선 좋든 싫든 수학을 접목시켜야 하고

그중에서도 이과, 문과 모두 공통으로 싫어하는 통계를 사용해야 한다

두 종목의 상관관계를 알 수 있는 방법을 알아보자

2. 종목간 상관관계 분석 방법

상관도를 분석하기 위해 쓰이는 수학적 개념들을 주식 투자에 접목해서 알아보자

기댓값 (Expection, $E$ )  = 예상 수익률

확률 (Probability, $P$ ) 

$$ E(X)= \mu = \sum x \cdot P(x) $$

분산 (Variance, $\sigma^2$)

표준편차 (Standard Deviatin, $\sigma$)  = 변동성(Volitality)

$$ var(X) =  \sigma^2 = E[(X-\mu)^2] = E(X^2)-E(X)^2 $$

공분산 (Covariance, $cov$ )

$$ cov(X, Y)= E[(X-E(X)) \cdot (Y-E(Y))] $$

$$ = E(XY) - E(X)E(Y) $$

위 공분산 수식을 조금 자세히 봐보자

어떤 종목$X$의 값이 평슌수익률$E(X)$ 보다 좋게 나오면 양수이고

어떤 종목$X$의 값이 평슌수익률$E(X)$ 보다 나쁘게 나오면 음수이다.

즉 종목 $X$와 $Y$가 동시에 좋거나 동시에 나쁘게 나오면 공분산$cov$의 값은 +가 나오게된다.

상관계수 (Correlation Coefficient, $corr$ ) 

$$ corr(X,Y) =  \left(  \frac{cov(X,Y)}   {\sqrt{var(X)} \cdot \sqrt{var(X)}}  \right)$$

두 종목의 공분산을 각각의 종목의 분산으로 나눈 값이다.

상관계수는 단어의 의미에서도 알 수 있듯이 두 종목이 상관있는 정도를 말한다.

일반적으로 $corr$이

-1.0과 -0.7 사이이면, 강한 음적 선형관계,
-0.7과 -0.3 사이이면, 뚜렷한 음적 선형관계,
-0.3과 -0.1 사이이면, 약한 음적 선형관계,
-0.1과 +0.1 사이이면, 거의 무시될 수 있는 선형관계,
+0.1과 +0.3 사이이면, 약한 양적 선형관계,
+0.3과 +0.7 사이이면, 뚜렷한 양적 선형관계,
+0.7과 +1.0 사이이면, 강한 양적 선형관계

로 해석한다.

3. 상관관계 분석이 필요한 이유, 엑셀이용

같이 움직이는 종목을 담아봤자 분산효과가 없다는 것은 누구든지 알고 있다.

삼성전자와 SK하이닉스를 동시에 들고 있는 것이 무슨 의미가 있겠는가?

위 방법의 적용 예시로는 

삼성전자를 가지고 있는 투자자가 새로운 종목(A)을 매수하려고 할 때

A 종목이 삼성전자의 주가 방향과 어떻게 다른지 논리적으로 측정할 때 상관계수를 사용하면 

투자 판단의 확실한 근거로 사용할 수 있다.

위 공식을 외우고 타이핑해서 사용할 필요는 전혀 없다

용어의 의미를 설명하기 위해 수식을 적어놓았을 뿐이다

이미 엑셀에서 함수로 제공하고 있으니 주가 데이터만 받아서 넣는다면

1초 만에 상관계수를 계산할 수 있다.